狄瓦数学：复数

狄瓦人的数学天赋是她们发展成为高度发达文明的一个主要且非异常的因素。

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深红天空/雅典娜计划：狄瓦数学

狄瓦人的数学天赋是她们发展成为高度发达文明的一个主要且非异常的因素。

作者注：这是一篇数学内容含量巨大的文章；如有需要，请缓慢阅读，如有遇到不理解的地方，可以随时返回前面的章节查看，或是停留片刻略作思考。

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DOI：scp.hist/500219

权限：G3-2/DOTT/HIST/MATH

日期：2023年2月17日

作者：Paige Buyantu（应用数学部），Teresa Zhang（人类学部）

关键词：超宗教·词源学·狄瓦帝国·建筑学·教育学·农业学·奇术·三角学·水文学·数学史·树艺学

摘要：由Yezhov等人在近期于中国吐鲁番主持的考古发掘中出土了大量与古狄瓦帝国相关的重要文物。其中包括一部部分保存下来的数学教材（约公元前3000年），名为《敬奉几何》（Geometric Veneration），用于教授12岁及以上儿童。基于Zhang等人所提供的语言学见解，对该教科书的内容进行数学分析是必要的，因其就复数的论述是目前已知最古老的同类知识记录（也是此类知识中唯一的古代记录）。本文中，我们将通过把该文本翻译为中文及现代数学语言来使人们能够直接研究并比较狄瓦人的数学知识、教学方式，以及其与现代数学理论和同时代其他古代文明数学体系在实际应用上的差异。我们的研究结果表明，狄瓦人以实用为核心以及将数学与其文化和宗教紧密结合在一起的方法，使她们在三角学领域取得了同时代的其他人所不具备的显著进展。我们随后分析认为，这些进步及其在农业、建筑等领域的实际应用，是狄瓦在文明发展的过程中可以在经济与军事上比之其他文明更为优越的主要且非异常的因素。

引言

狄瓦帝国是一个起源于西伯利亚中南部，随后扩张至中亚、中东以及东欧的古代文明。狄瓦因其逆向因果式的可塑性历史以及对奇术的广泛运用而为基金会所熟知。根据异常文物及其他考古证据显示，狄瓦的历史至少可以追溯至公元前一万年。在狄瓦社会的顶层，是一个母系神权贵族阶层，由经奇术强化过的Homo sapiens daeva（即“狄瓦人”）构成。她们主导了帝国旷日持久的领土扩张，并强制推行对七位“源泉领受者Fontbearers”的崇拜：她们是构成包罗万象的狄瓦神系的女神/哲理。据信，狄瓦文明对古代世界的大部分贡献已在奴隶起义中被毁灭，或被以逆向因果式手段彻底抹除；然而，基金会近年来回收到的越来越多的血卜术、树木、园艺以及时间异常，均被确认与狄瓦帝国存在关联。

与此同时，尽管三角学的研究一直伴随着自有文字以来的人类，但如今所熟知的复数理论则是在更晚的时期从多项式方程及其解的研究中诞生的。最初，人们在遇到负数的平方根时，往往因其非实数的性质而将其舍弃；然而，到了16世纪，人们发现，在求解某些多项式的零点的公式中，即使最终结果是实数，也必须运用到这些负数平方根。1637年，勒内·笛卡尔带有贬义地创造了“虚数”这一术语，用以指代这类数量：

……有时仅仅是被虚构出来的，也就是说，在每个方程中可以虚构出如我所说的任意的量，但有时却不存在任何与我们所虚构出的数量相对应的实际数量。

直到18世纪末至19世纪初，复数与三角学之间的联系，以及将其几何化为二维平面上的点的解释，才在数学界被广泛接受。正如卡尔·弗里德里希·高斯所言：

如果人们过去从一个错误的角度来看待这一课题，并因此感到一种难解的晦涩，这在很大程度上应归因于拙劣的术语使用。若当初不将+1、-1、 $\sqrt{- 1}$ 称为正、负或虚（亦或是不可能）单位，而是称作正向、反向或侧向单位，那么几乎就不会产生这种晦涩感。

我们对Peágomthra（译为《敬奉几何》）一书的分析表明，狄瓦人规避了这一认知陷阱，并且在数学界上比其他文明早约五千年就拥抱了复数。此外，在从几何原理出发发展出的一种直观的复数理论上，我们发现，在三角学的教学方法上，狄瓦人的教育体系在某些方面甚至优于当代许多教学方式。

分析

下文摘录自由Yezhov等人于去年年末复原的《敬奉几何》的值得注意的片段[1]，重写为中文和现代数学语言（例如，从狄瓦人的七进制数制转换为我们的十进制数制），并在相关处附有翻译自原文的古狄瓦语的翻译脚注（以“.这些翻译注释是非强制的，但也许能提供关于狄瓦人是如何对待数学的方式的更多文化见解。”标记）。由于许多原文中的图示已严重损坏或褪色，本文也提供了这些图示的数字重现图。其与苏美尔（一个与狄瓦文明存在于同时期的古美索不达米亚文明）的数学体系的对比被用来凸显古代传统数学教学方式中的显著差异。

基础

下文摘录自第三章节。

旋转

需提醒你的学生，将加法

x \to x + a ，

理解为一种平移行动。在这种视角下，一个数量 $x$ 通过变量 $a$ （称为加数.在原文中，变量用与其论题相符的狄瓦字母表示，当其值未知时，则用圆圈将其圈出。没有单位的抽象变量则用圈内没有任何内容的圆圈（或同心圆环）指代。）而增长或向前移动；例如粮食的囤积以及沿河流或道路向帝国跳动的心脏行进的距离等。需提醒学生，当 $a$ 为负量时，它可以被用来表示 $x$ 的减少或向后移动；例如牲畜或敌军部队的削减、为仪式消耗的血液量、以及债务的累积.“负数”可以直译为“后退的数字”；“正数”则可以直译为“前进的数字”。请注意，狄瓦人只是简单地将负数/变量倒过来写，而不是使用负号。。

类似地，乘法运算

x \to m x

可以被理解为一种通过乘数 $m$ 进行扩展或划分的行为。学生应当构建这一运算的相关实例，例如帝国人口翻倍（ $m = 2$ ），亦或是将一份禽肉饼均分为四份（ $m = 0.25$ ）。

历史学分析：值得注意的是，文本一开始便将读者称呼为使用该材料来指导学生的教师。不同于古苏美尔人的楔形文字泥板，《敬奉几何》是一部真正意义上的书籍（由处理过的小牛皮制成），并使用一种通常与狄瓦平民阶层相关的文字书写[1]，这表明，即使是使用这本教材的教师（以及她们的学生）也有可能有着多种不同的社会与经济背景。

数学分析：其中展示的将数理解为对数的操作，而非将数理解为数量本身的阐述方式，在我们看来，这正是狄瓦人在数学上取得诸多重大成就的关键构造处。与复数一样，负数曾因不合逻辑而被弃用了数个世纪，因为人无法具体拥有“负五块木板”或“负三桶小麦”。直到公元1世纪，将负数解释为债务累积和数轴上的向后移动的阐述方式，才通过中国著作《九章算术》开始普及——这距离《敬奉几何》的写就已经过去了三千多年。与此同时，将数视为人对世界所作之事，而不仅仅是作为对世界属性的度量的阐述方式使狄瓦人能够超越这种思维局限，比其他同时代文明更早的以直觉发明出了负数。

此外，狄瓦人关于数的一般概念本身也值得关注——例如，尽管苏美尔人建立出了明确的锲形计量符号，如“一日”和“一羊”，但却缺乏一个脱离具体测量单位的抽象的表示“一”的符号。而对狄瓦帝国而言，具体的量对其的运作当然至关重要，但Zhang等人先前的研究[2]指出，测量单位的具体细节通常被省略，其测量结果的定义主要依靠上下文的具体语境。

接下来，与你的学生展开如下讨论：

问题：应如何解释一个负乘数？
答案：以乘积 $2 \cdot - 1 = - 2$ 为例子。这一运算将两个向前单位的量转化为两个向后单位的量；再次相乘则使量恢复成两个向前单位。因此，乘数 $- 1$ 可以被解释为数量方向过零点/原点.直译为“虚点”。的反转或反射。
讨论：乘以 $- 1$ 也可以理解为将某一概念围绕零点进行反射，以获得其对立面和/或补充面，从而搜寻完整与圆满。尽管这在数学中是一个有用的母题思想，但应告知学生：若仅拘泥于这种基于反射的思想体系，她们的思维将最终被局限于一维，而接下来对多维数学框架的探索，将足以使我们轻松地同时表示帝国所尊崇的七种思想流派。

若无法进行面对面讨论，可让每位学生独立起草她自己的回答，作为她午祷的一部分。

历史学分析：正如书名所示，《敬奉几何》在学生、教师与宗教信仰之间构建了一种积极的动态关系。教育被安排为讲师与其弟子之间的对话，而祈祷与数学探究以如此轻描淡写的方式融为一体，让二者的不可分割性在狄瓦社会中已司空见惯一事成为了顺理成章的结论。

至关重要的是，女祭司Velka——第八位Daevon之明光，将Noru-gai的奇迹赐福照耀于我们光辉帝国之人——的神圣劳作揭示了反转的另一种解释，在处理二维中更为复杂的形状时，这种解释更加简明易懂.“Noru-gai”可直译为“太阳源泉”；指的是狄瓦神系中的一位神祇（参见下文的翻译讨论）。。如下图所示，当对三角形进行这种反转时，既可以通过反射各元件边来求解，也可以通过将原三角形旋转二分之一圈来求解，两个方法一样有效.狄瓦人测量角度时所使用的是几分之几的整圈（ $360^{\circ}$ ），而不是使用度、弧度或类似的单位；但是，为了简便起见，我们之后将统一翻译成度数。。

图A：当原三角形的底边和高乘以 $- 1$ 时，它们会分别沿相反方向反转。然而，由此得到的三角形也可以通过将原三角形旋转 $180^{\circ}$ 得到。

因此，负乘数可以被理解为一个附值为二分之一圈的旋转角度。不过，这种定义又引出了另一个问题：如何构造能够表示任意旋转度数的运算对象，且其角度可由水平垂直仪器测量.参见下文的讨论。？

为达成这一目的，我们设 $∠ θ$ 为单位相量，即长度为1、与水平正方向夹角成 $θ$ 的有向线段.“单位相量”可以直译为“有向单位”。“相量”这一术语是“相位向量”的现代合成词。。两个最基本的相量是两个水平方向的

∠ 0^{\circ} = 1, ∠ 180^{\circ} = - 1 ，

因此，一个正数 $x$ 可以被写为 $x ∠ 0^{\circ}$ ，而其反面 $- x$ 则被写为 $x ∠ 180^{\circ}$ 的形式。

历史学分析：注意到这一几何见解被称为“神圣劳作”。更具体地说，“Noru-gai”这一神祇被识别为狄瓦神系中的第二位女神，执掌着太阳与丰收、光明与惩戒、美丽与炽烈之怒的权柄[3]；这表明“Daevon之明光”是一位有影响力的狄瓦人（更具体地说，是“慈母统治议会”的一员），负责主持整个帝国内的对Noru-gai的崇拜。因此，数学成果及其向大众的传播，与这位女祭司作为宗教领袖的角色密切相关（甚至可能是其核心），而且，正如我们将要在后续探讨的，下层阶级的狄瓦人也将这些成果在劳动中的运用视为属于自己的神圣劳作。

数学分析：文中提到的水平垂直仪器的具体真身为何尚不明确，但据信，它很可能与一种在古埃及建筑师Kha（约公元前1400年）墓中发现的原始量角器类似：用一个小钟摆来将一个刻有类似量角器的辐条的圆与一根绷直的细绳进行对比，以确定垂直方向。

既然乘以 $- 1$ 就相当于旋转 $+ 180^{\circ}$ ，那么乘以一个任意的带角度的数，都相当于按其角度进行旋转.这是狄瓦人对欧几里得几何中角加法公理的等价公理。：

(∠ α) \cdot (∠ β) = ∠ (α + β)

举例来说， $∠ 90^{\circ}$ 的量，被称为四分之一旋转乘数，被经常使用，由此 $i$ 被用来当作专门表示它升格地位的特殊符号.四分之一旋转乘数要么写成 $1$ 次逆时针旋转 $90^{\circ}$ 的狄瓦符号，要么写成字母 $c$ （参见下文的翻译讨论）。。使用（angleaddition），其数值被认为遵从如下关系

∠ 90^{\circ} \cdot ∠ 90^{\circ} = ∠ (90^{\circ} + 90^{\circ}) = ∠ 180^{\circ} = - 1 ，

即

(∠ 90^{\circ})^{2} = i^{2} = - 1 。

不断乘以 $i$ ，会产出循环旋转模式

∠ 0^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = i^{0} = + 1 ， [PARSE ERROR: NewLine] a n g l e 90^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = i^{1} = + i ， [PARSE ERROR: NewLine] a n g l e 180^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = i^{2} = - 1 ， [PARSE ERROR: NewLine] a n g l e 270^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = i^{3} = - i ， [PARSE ERROR: NewLine] a n g l e 360^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = i^{4} = + 1 ，

鼓励让学生她们.古狄瓦文字中的语法性别遵循基于所指对象身份的等级制度系统。除了指代物体和奴隶的无生命形式外，这些性别最准确的翻译均为阴性。自行推导。

Daevon之明光的研究进一步指出：这些角度数值天然适用于通过乘法来旋转，而它们的加法可被解释为二维空间中的平移，例如在一片麦田中移动，而不再局限于单一直线。因此，如果 $\pm 1$ 表示前进或后退一个单位，相对应的，虚数单位 $\pm i$ 表示沿垂直方向前进或后退一个单位.根据上下文，“虚数单位”可以直译为“横向增量”或“垂直增量”。。

由此可见，反射、旋转与平移全被我们追求升格的数学体系统一起来，使一切可能性都纳入我们风华正茂的不朽帝国.参见下文的语言学讨论。的掌控之中。

图B：可以直观地将 $3$ 与 $4 i$ 这样的数画成定向箭头，并把一个箭头的尾部接在另一个箭头的头部，以此进行相加。最终指向目的地的第三个箭头的长度与角度便定义了它们的和。

语言学分析：狄瓦人用于表示 $i$ 的实际字母，相当于拉丁文字中的 $c$ ，据信，这与“泪泣绯红者She Who Weeps Crimson”.与其他六位狄瓦神祇不同，迄今为止在基金会复原的任何文本中都没有给出该人物的专有名称（配有“-gai”后缀的名称）。有关——她是狄瓦神系中第七位、也是最强大的神祇[3]。她也被称为“伟大织者”和“鲜红女神”.标题与假设的深红之王/“鲜红之神”的重叠似乎并非巧合——我们的消息来源表明，他与狄瓦帝国的历史联系实际上植根于对泪泣绯红者相关的神话的误译和误解。，据称该主神执掌有生命与腐败/升格.此处的区别并不清晰，因为这两个概念在狄瓦语言中是同一个词。、操控与阴谋，以及自然与星辰的权柄。值得注意的是，现代仍存在一个以奇术为核心的被称为“绯红织者”（GoI编号待定）的邪教继续崇拜着她。我们推测升格／天外的主题正是选择这一符号来代表的原因——狄瓦人并未因所谓的非现实而贬低“虚数”，相反，她们极度器重这些垂直量，并将其与她们神系中最强大的神祇联系在一起。

还值得深思的是，英语单词“mathematics数学”源自古希腊语máthēma；其意为“被学习之物、知识”，反映了将数学视为学习和建构周边世界模型的工具这一观念。事实上，毕达哥拉斯学派曾将万物皆可化为整数及其比视为宗教信条，以至于像 $π$ 和 $\sqrt{2}$ 这样的数被认为是不合逻辑且渎神的（“无理数”这一术语由此而来）。相比之下，古狄瓦语中的数学（puvhiázai）一词最适合的翻译为“创造之音”或“转化之语”，反映了狄瓦将数学当作个人对周边世界施加意志的工具这一观念。有鉴于此，《敬奉几何》将数学当作通过宗教虔诚实现内在改变的工具也就不足为奇了——而正如本文后续应用部分所示的那样，该书同样拥护将数学当作重塑外在世界的工具的用途。

数学分析：如前所述，近代数学家是在科学革命时期从多项式方程及其解这一相对抽象的角度发现复数的；尽管其规则在代数上定义良好，但其几何理解在数十年的时间内都遭到拒绝，直到让-罗贝尔·阿尔冈发明出了复平面的可视化方法。与此同时，狄瓦人则从一个关键的几何洞见出发——关于原点的反射与绕原点旋转 $180^{\circ}$ 之间的等价性——并以此扩展了算术规则，从而用代数方法描述并进一步解释从这一洞见中自然出现的“带角度的数”。当然，这种方法在常规数学中并不罕见，但不可改变的事实是，狄瓦人在《敬奉几何》中对这一方法的广泛运用，使她们比地球上的任何其他文明都更早地发现了复数。

敏锐的读者可能还会注意到，这些图中取 $\arctan (4 / 3) \approx {53.28}^{\circ}$ ，但 ${53.13}^{\circ}$ 却是更佳的近似值。这是一个四舍五入的问题： $3 + 4 i$ 的角度约等于完整一周的 $14.75836 %$ ，而狄瓦人将其四舍五入为 $14.8 %$ （得 $0.148 \cdot 360^{\circ} = {53.28}^{\circ}$ ）。正如我们将在下文的摘录中看到的那样，《敬奉几何》通常最多只将数字四舍五入到小数点后三位；在计算的每个中间步骤中都会如此操作，因此舍入误差会随着计算逐渐累积。这象征着一个更大的趋势：狄瓦人对精确求出所使用数字的十进制展开式毫无兴趣，由此，在基金会迄今为止复原的任何著作中，有理数和无理数都没有给出明确区分。鉴于将数学当作工具用的做法，这是十分合理的——如果对于切实的应用来说，给出的十进制数字只需少数几个有效数字的精确程度即可，为何还要进一步探寻它精确的十进制和分数形式呢（例如，求得无理数的连分数展开）？举例来说，狄瓦人似乎满足于 $π \approx 3$ 的估算来计算单位圆的面积，而在需要更仔细计算时（我们会在下文中看到），则会采用 $π \approx 25 / 8 = 3.125$ 这样的粗略近似值（也是几百年后巴比伦人所使用的）。

直角坐标与极坐标形式

向学生指出，在图B中， $3 + 4 i$ 之和被改写为了带角度的数 $5 ∠ {53.28}^{\circ}$ 。第二种形式——其极坐标形式——是用该数的长度和角度来写成的，而第一种形式则被称为它的直角坐标形式，因为它将该数化为了一个宽度为 $3$ 、高度为 $4$ 的矩形的对角线。

问题：如何在任意带角度的数的极坐标形式与直角坐标形式之间进行转换？
提示1：由于长度 $5$ 只是一个缩放因子，我们只需要考虑单位相量的情况。例如，我们如何从任意一侧出发推导出下列等式？

∠ {53.28}^{\circ} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i

提示2：如若允许单位相量的角度在 $0^{\circ}$ 到 $360^{\circ}$ 之间变化，那么它会扫出什么图形？
答案：一个单位相量可以被画成以指定角度绘制的单位圆（半径为 $1$ 的圆）的半径。如若角度已知，则可以通过构造这个圆来手动测量其水平和垂直分量。如若两个分量已知，可以将它们首尾相加，并画出最终所得的半径。然后，使用标准技术来精准测量角度——举例来说，用一堆米粒均匀填满圆，随后计算角度介于 $0^{\circ}$ 与题目中的半径之间的米粒所占的比例。

让学生进行三到五次这样的米粒计算之后，再向她们展示下文的替代方法。受太阳与月亮的永恒之舞的启发，我们定义两个舞角函数.直译为“数值动作”，因为当时数学函数的概念尚未完全成型。，余弦与正弦.参见下文的翻译讨论。，满足以下关系

∠ θ = \cos θ + i \sin θ 。

换言之，一个单位相量就是单位圆上按某个任意角度画出的半径，而该角度的余弦和正弦就是从原点到达目的地所需的水平和垂直贡献。这些函数的一份标准输出值参考表，例如 $\cos {53.28}^{\circ} = 3 / 5$ 和 $\sin {53.28}^{\circ} = 4 / 5$ ，均包含在本书的附录中。

图C：一个单位相量 $∠ θ$ 等同于一个单位圆上按与水平正方向成角度 $θ$ 画出的半径。其箭头顶端也可通过水平移动 $\cos θ$ 单位和垂直移动 $\sin θ$ 单位来抵达。

语言学分析：狄瓦人将余弦和正弦分别命名为“noru”和“voen”，意为太阳和月亮。前者与前文提到的Noru-gai相关，后者则与女神“Voen-gai”.直译为“月亮源泉”。绑定——她是狄瓦人尊崇的第三位源泉领受者，执掌着月亮与黑夜、爱情与失落以及孤身与熵的权柄；据说这两个互补/对立的神祇陷在了一场被描述为“遍及苍穹的永恒之舞”的苦涩僵局里[3]。

常见的sine正弦一词的起源可一路追溯到梵语jyā，意为弓弦，源于弓在视觉上与圆弧及连接其端点的弦的相似性。相比之下，该文本暗指狄瓦在命名余弦和正弦时带有更多的象征性（和宗教）意图：余弦和正弦函数的谐波运动被比作太阳和月亮之间的舞蹈（见图1）。这种概念上的关联的起源尚不明确，但我们推测它扎根于狄瓦天文学：在月相周期中，月球被照亮部分的面积可以被近似为函数 $(1 + \sin ϕ) / 2$ ，其中，就与太阳之间的夹角而言，新月为 $ϕ = 0^{\circ}$ ，满月为 $ϕ = 180^{\circ}$ 。

图1（动画）：正弦波（黑色）的振荡相较于余弦波（橙色）的振荡滞后四分之一个周期；类似地，在狄瓦人的设想中，月亮在两者遍布苍穹的“舞蹈”之中滞后于太阳。

数学分析：这一示例问题提供了多个提示，讲师可以利用这些提示提供结构化的支持，期望学生同时通过肉眼/几何直觉和动手实践这两种方法来解决问题——即使放在今天的教育机构（包括基金会的雅典娜计划倡议）中，这些教学方式也是高度可取的，但这些方式至今也未得到充分使用。

使用米粒来计算面积比例的方法——一种相当务实且符合狄瓦人仅在严格必要范围内才追求计算精度的观念的方法——并不算特别不同寻常。举例来说，伽利略·伽利雷在1599年计算摆线下方的面积时，并没有通过运算，而是通过将摆线从金属板上裁剪下来后对其进行称重，再将其重量与用于生成其形状的圆形的剪出重量进行比较的方法计算出来的。此外，狄瓦的这种方法类似于用蒙特卡洛方法估算 $π$ 的做法，后一种方法通过使用随机放置的点落在圆内的比例来预估正方形与其内部的内切圆的面积之比。无论如何，向学生提供多个提示，并在只进行三到五次繁琐计算后便提供更简单的方法一事间接表明出她们教师对学生的态度称得上令人惊讶的仁慈——那么，也许狄瓦相信，在教育环境中过于严苛的教导在培养行为服从与智力激发这些方面是无用的。

除了直接测量之外，还可以利用单位相量的基本性质推导出一些正弦和余弦的恒等式。例如，将和角公式（angleaddition）展开后可得

\cos (α + β) + i \sin (α + β) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"=\")")] (\cos α + i \sin α) (\cos β + i \sin β) 。

将乘积进行分配，并分离出水平和垂直分量，让学生提取出单独的公式

\cos (α + β) [PARSE ERROR: Ampersand] = \cos α \cos β - \sin α \sin β ， [PARSE ERROR: NewLine] s i n (α + β) [PARSE ERROR: Ampersand] = \sin α \cos β + \cos α \sin β ；

向学生明确指出，这些公式中所体现的对称性是太阳与月亮那永恒的不可分割性的象征。与此同时，在 $n$ 为任意整数角度缩放因子的情况下，不断相乘的 $(∠ θ)^{n} = ∠ (n θ)$ 可以得出指数运算的法则

(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ

作为练习，可让学生取 $n = 3$ 的值，使用该公式证得以下恒等式

\cos (3 θ) [PARSE ERROR: Ampersand] = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ ， [PARSE ERROR: NewLine] s i n (3 θ) [PARSE ERROR: Ampersand] = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ 。

数学分析：在当代数学中，这类恒等式都是在独立于复数之外的情况下推导出来的，随后的诸如棣莫弗定理（上文详述的指数运算法则）这样的发现才将这些恒等式整合进了一个统一且优雅的框架之中。而在这里，狄瓦人一开始便能站在这个框架内，使她们能够直截了当的轻松求出许多三角恒等式。

复数

如前所述，增加一个任意长度的复数，都可以被解释为一次二维中的位移.“复数”可直译为“带角度的数词”。。给定两个复数 $z = a ∠ α$ 和 $w = b ∠ β$ ，其极坐标形式就是简单的

z \cdot w = (a ∠ α) (b ∠ β) = a b ∠ (α + β) ，

即同时旋转（角度相加部分）和缩放（长度部分），如图D所示。

参考（euler），我们知道一个复数 $z = r ∠ θ$ 可被拆分为水平/实数部分 $x$ 和垂直/虚数部分 $y$ ，由此可得出

z = r \cos θ + i r \sin θ = x + i y 。

这意味着，在直角坐标的形式中，复数的乘法可以直接分解为

(x + i y) (u + i v) = (x u - y v) + i (x v + y u) ；

若干此类知识的练习题被列在本章的末尾处。

图D：两个复数相乘时，角度相加，长度相乘。无论采用极坐标形式还是直角坐标形式，最终结果都一样。

为了从 $z$ 的直角坐标形式中求出它的长度公式，Daevon之静默——她每十年才会从笼罩在阴影中的幽居处走出一次，用Voen-gai的安宁赐福我们平和的帝国——选择从其共轭数开始.狄瓦人用指向下方的箭头代替星号来表示共轭数的垂直反射。

z^{*} = x - i y = r ∠ (- θ) ；

正如昼夜交替会使蒙福的太阳与月亮沉入地平线之下一样，共轭是 $z$
关于水平轴的反射。

在极坐标形式中，一个数与其共轭相乘会得

z^{*} z = [r ∠ (- θ)] [r ∠ θ] = (r \cdot r) ∠ 0^{\circ} = r^{2} ，

而在直角坐标形式中则为

z^{*} z = (x - i y) (x + i y) = x^{2} - i^{2} y^{2} = x^{2} + y^{2} 。

由此，Daevon之静默的神圣劳作揭示了距离公式

| z |^{2} = x^{2} + y^{2} = r^{2} 。

（如果你的学生需要回忆绝对值 $| z |$ 的含义，按照第一章节上的做。）当带角度的半径被分解为一个直角三角形时，斜边的长度与其她两条边的长度之间便有了关系.这是毕达哥拉斯定理。。

与此同时，角 $θ$ 可通过一个新的舞角函数正切从 $x$ 与 $y$ 中推导出来.参见下文的翻译讨论。，正如

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{y}{x} 。

正切表示该带角度的半径的倾角/斜率，正如太阳与月亮在遍布苍穹的战舞中划过的锋锐边界。附录中的三角函数表同样列出了正切值，可依据 $y / x$ 的数值，交叉引用表后反推出 $θ$ 。

另需注意，由于这种对称性，我们有公式

\cos θ [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{∠ θ + ∠ (- θ)}{2} ， [PARSE ERROR: NewLine] s i n θ [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{∠ θ - ∠ (- θ)}{2 i} ，

教材鼓励学生她们自己自行推导出这些公式。利用这一表达式，可以求出正弦与余弦的大量性质。举例来说，在垂直反射 $θ \to - θ$ 的情况下，余弦保持不变，而正弦加上负号——换句话说，当太阳日复一日照耀着帝国时，月亮则会随着月相周期的演变而在将她的光辉洒满夜空与退至天外虚无的阴暗孤寂的状态之间轮流切换。

语言学分析：“正切”在狄瓦语中的词为“tiḳápor”，直译为“相爱相杀”；换句话说，太阳女神Noru-gai与月亮女神Voen-gai既被视为敌人，也被视为恋人.这种概念上的二元论在狄瓦语言中十分普遍，前文提到的腐败/升格的混为一谈就是其中更极端的例子。。结合前文提到的Daevon之静默（与Daevon之明光对等的月亮）、以及将共轭类比为地平线的做法，我们可以看出《敬奉几何》作为一本教导数学的教材的同时，也在向狄瓦孩童积极灌输宗教传说。

数学分析：再次注意到将复数视为一种变换指令的高度强调。纵使狄瓦数学缺乏欧拉公式 $∠ θ = e^{i θ}$ 以及衍生自微积分的工具，我们仍相信狄瓦数学在许多方面都是群论及其在对称性研究（例如规范对称性）的应用中的先驱；如果狄瓦人的数学知识没有湮没于时间洪流中，那么也许这一领域会提前几个世纪（甚至几千年）得到正式发展。

此外，当 $r = 1$ 时，上述距离公式将简化为毕达哥拉斯恒等式

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1 ，

而在目前从《敬奉几何》中复原的文本中，似乎没有任何地方提及了这一恒等式。目前尚不知晓是狄瓦数学家未能推导出这一恒等式，还是未能找到充足的宗教或计算理由来将其收录，又或是这部分内容被包含在尚未被基金会复原的《敬奉几何》的后续章节中。

应用

第二份复原的部分《敬奉几何》包含第4章节的大部分内容，该章节将上述概念应用于现实生活的场景中。

激励学生

实践出真知，而激励出实践。在本章中，每当给学生布置一道题目时，鼓励抛弃低级的身体惩罚，转而以自己个人选择出的方法奖励前三名解答得（a）最准确的学生、（b）最深刻的学生以及（c）最迅速的学生。为了提升她们的创造力、警觉性与机智，我们还鼓励你默许学生之间的破坏行为，只要（a）没有直接说谎；（b）没有将她人的成果冒充为自己的成果；（c）没有任何一方或其同伴的身体受到伤害。

此外，如有学生希望报名入读位于辉煌的Daevon之城内的享有盛誉的第五学院，则应使用标准的血卜术封印保存其作品，与其入学申请一并提交。

历史学分析：“第五学院”被推定为一个服务于狄瓦神系中的第五位女神的学术与宗教机构；截至本文发表，尚未回收到任何关于该神祇的信息。值得注意的是，这是基金会迄今为止发现的第一个提及“Daevon之城”的文献——在此之前，内殿之城（有时称为黑色内殿）一直被认为是狄瓦帝国的唯一首都。前文引用的资料来源更详细地讨论了这一发现及其可能存在的逆向因果性衍生影响，但就本文目的而言，这里有两个重要的见解。

第一，狄瓦人似乎摒弃了“低级的”体罚，转而采用竞争来保持学生的动力和纪律。在当下，帷幕内的研究普遍发现，结构性竞争（当适度使用时）在学术环境中是有效的。因此，我们假定这种结构帮助巩固了狄瓦帝国相较于同时代文明更迅速的学术发展。这也在一定程度上揭示了她们的社会阶层性：尽管她们对通过学业功业实现阶层上跃的低阶级学生表现出令人意外的接纳态度，但狄瓦社会有着高度的激烈性和对抗性，积极鼓励着年仅12岁（甚至可能更小）的学生进行互相破坏（但不包括抄袭）。

这种面向学生的上升通道似乎最终以入读帝国两大首都之一中的知名机构为顶点。来自乡村地区的人才在尚未进入青春期之前便被吸纳至城市地区的人口中心，而劳工（自愿或非自愿）被用于这些城市地区中心内的建设项目以及城墙之外广袤农村地区的农业劳动。

这一揭露为一份由Yezhov等人在近十年前的考古发掘中发现的古代日记（约公元前2500年）提供了相当重要的再语境化[4]。涉及学术破坏行为的相关条目——由一名年龄估计在12至14岁之间的狄瓦儿童撰写——重新刊印在下文中：

当暮色的余烬消散，我知道是时候出击了。借着事先放好的梯子，我悄悄爬上断崖，钻进了Vida的窗户。我的双脚刚落到地板上，木板就发出了超响的嘎吱声。我的血都凉了！但我知道，我必须继续。在Vida完全醒过来之前，我用绳子捆住她的嘴和四肢，把她绑在床上。虽然脸上留下几道擦伤，但还是成功了！伟大织者钟爱着我。

我没有多少时间，Vida很快就会从束缚里蠕动着挣脱出来，然后大声呼救。她就是条蠕蠕！她的母亲之一还有一把斧头，我可一点都不想被那东西砍成渣渣。所以我动作很快。没用上桶里的多少血，她的羊皮纸就已经全被浸得完全无法复原了。我倒了好多好多，多到血从书桌上流下来，淌到了地板上。那可真是太酷了！最重要的是，她这辈子都再也当不了老师最喜欢的学生了。

Vida在这时挣脱了嘴上的束缚，发出尖叫，把我的耳朵震得生疼。要是我不快点做点什么，我就要变成斧头底下的肉了！于是，我把桶里剩下的血全都泼到了她脸上，灌进了她的嘴里，让她闭嘴。对此我感到些许愧疚，但随后我想起我小腿后面那道疤就是她害的，于是，我反而开始像疯了一样地笑起来。当那些血灌进她喉咙里的时候，她开始剧烈咳嗽，此时，我听见走廊另一头开始传来脚步声。我把桶丢在脑后，从窗户一跃而下！幸好底下堆着的干草把我接住了。然后我冲进夜色，狂奔直到我到家。

隔天上课的时候，老师因为Vida没有做作业而训斥了她，而我则拿到了满分。我还故意在自己的手臂上留了几道淡淡的血迹，好让Vida知道是我干的。我想她看懂了，因为她一直狠狠地瞪着我，而且一整天都不肯和我说话。我想，诸神一定会为我感到骄傲。现在，我需要确保她在短期内不会来报复我。

该故事最初被认为是两名学生之间因积怨已久而爆发的一起孤立事件。然而，在《敬奉几何》提供的新背景之下，这类事件或许远比过去所认为的那样更加普遍。

解三角形

三角形可以正式定义为一种由三条彼此相接的长度为 $a 、 b 、 c$ 的直边组成的形状。在不失一般性的情况下，我们可以通过旋转整个三角形，将边 $c$ 置于水平轴上。如果 $a 、 b$ 的箭头分别与水平轴成角度 $α$ 和角度 $- β$ ，可得

a ∠ α + b ∠ (- β) = c 。

如果切换视角将这个三角形视为一个循环路径，行走者会以面朝前方开始，以面朝后方的姿态回到原点为结束。因此，其内角和为半次旋转（ $180^{\circ}$ ）。

图E：任意三角形都可以画成如下形式；其三条长度为 $a 、 b 、 c$ 的边可分别被描述为复数 $a ∠ α$ 、 $b ∠ (- β)$ 和 $c ∠ 0^{\circ}$ 。值得注意的是，聪明的学生可以通过识别出顶部的全等角，并发现它们共同组成一个半圈的旋转，从而判断出三角形的内角和为 $180^{\circ}$ 。

将（triangledef）转换为直角坐标形式，并分离其实数部分与虚数部分，可以求得两个分别的关系

a \cos α + b \cos β [PARSE ERROR: Ampersand] = c ， å \sin α - b \sin β [PARSE ERROR: Ampersand] = 0 。

我们首先研究第二个方程，将其重新排列为

a \sin α = b \sin β ；

这被称为月之等价定律。它告诉我们若在通往目的地 $c ∠ 0^{\circ}$ 的路径上有一竖直偏差值 $a \sin α$ ，必须由另一个大小等值、方向相反的偏差值 $b \sin β$ 来抵消才能最终抵达。

该定律同时向我们揭示了升格的真正本质：一个人若想真正凌驾于她人之上，她就必须愿意接受同等程度的谦卑，从而避免骤然坠向大地，倒在闷烧着她的自负的坑之中流血而死的命运。当泪泣绯红者坠于这个世界上时，不是别人，正是Voen-gai最先将这一道理教给了她——而也正是这一道理，使得绯红星尘圣母Our Lady Of Crimson Stardust在后来摒弃了天界的虚妄，转而选择了Daevon的宁静。在与你的学生讨论这段历史时，让她们分享过去令人感到谦卑的故事，以及如何因为认知到了月之等价定律而使她们得以避免陷入难堪与羞耻之中的。

数学分析：如果我们将三角形的第三个角（紫色）表示为 $γ$ ，那么“月之等价定律”其实就是正弦定律

\frac{\sin β}{a} = \frac{\sin α}{b} = \frac{\sin γ}{c} 。

注意到狄瓦人的表述全然忽略了第三条边与第三个角——尽管其更加实用，但她们的大多重点都放在了源泉领受者的神话以及能够从这个方程中提炼出与她们相关的道德/理想上面去。也需注意的是这些宗教材料被设计成教师与学生之间的讨论话题——数学被用作一种传递想法的媒介，又或是一种可以帮助探索这些隐喻的透镜。

类似的，将 (triangledef) 与其共轭相乘，得到表达式

c^{2} [PARSE ERROR: Ampersand] = [a ∠ α + b ∠ (- β)] [a ∠ (- α) + b ∠ β] & = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")] & = a^{2} + a b [∠ (α + β) + ∠ (- [α + β])] + b^{2}

使用（trigdefs）我们可得

∠ θ + ∠ (- θ) = 2 \cos θ ，

由此，它变成了那个优美的方程

c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (α + β) 。

该方程被称为日照路径定律，它允许通过构成路径的距离和角度来计算目的地的距离。换句话说，目的地 $c$ 不能仅凭 $a$ 和 $b$ 的某种组合抵达：它们的角度 $α 、 β$ 必须通过余弦函数一同起舞才能弥补缺失的差值。正是Noru-gai优美的旋律首先使鲜红舞者Red Dancer得以从她原先作为星界生命的破败中扬升：在接纳了炽怒太阳Wrathful Sun的光辉与骄傲后，编织星辰者She Who Weaves The Stars重获新生。向你的学生指出，这一定律并非月之等价定律的对立面，而是其补充——只有同时接纳两者，Daevon的孩子们才有望繁荣昌盛。

数学分析：既然 $α + β = 180^{\circ} - γ$ ，那么使用前文对 $γ$ 的定义，“日照路径定律”其实就是余弦定律：

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ 。

当然，尽管将公式表达成减法可使其更简单、更紧凑，但这会干扰“弥补缺失的差值”这一构成了基于协作的隐喻的绝大部分的类比。鉴于Noru-gai及其哲理的语境中对美的强调，这应该不足为奇——那么，或许狄瓦人对数学之美的标准更多地植根于象征之美，而非美学之美。

现代数学中表现出的余弦定律与正弦定律形成于希腊化时代；在没有复数的情况下，它们通常通过作辅助高线，将一个三角形分割成几个更小的三角形，再进一步操作求证得到。本文中，这两条定律都只是通过直截了当的对定义了三角形的简单的一行方程（triangledef）进行纯粹的代数运算，就推导了出来——这种方法可以说是更加直观，而且往往带来的困惑能更少。

历史学分析：必须强调的是，狄瓦人并不将天界构想为一种超自然或异维度空间，也不是诸神栖息之地或某种来世（因为狄瓦人明确没有构想出任何死后的存在）；相反，源泉领受者被认为与她们所体现的物体、元素和哲理本身完全一致[3]。这意味着，前文提及的泪泣绯红者来自天界，并且在来到地球之前曾作为“星界生命”存在的说法或许是字面意义上的意思——如果她确实真实存在于基准现实之中，那么她很可能源于太阳系外，这一点值得基金会异星历史学部进行进一步的探索。

建筑学

让学生们完成以下习题。

问题1：那些在大雪地区搭建屋顶时让倾角小于 $25^{\circ}$ 的人，都是活该遭受等待着她们的可怖命运的蠢货。如果一个贸易站宽 $1.6 ulv$ .约为 $16$ 米。，搭建出的屋顶倾角为 $30^{\circ}$ ，那么椽子长为多少？
答案：屋顶是两底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形.直译为“暮色三角形”，可能在指代日出/日落期间白日和黑夜的平衡。。使用（triangledef）和（trigdefs），我们得到

1.6 = L ∠ 30^{\circ} + L ∠ (- 30^{\circ}) = 2 L \cos 30^{\circ} ；

使用附录中的数值表，得到

L = \frac{1.6}{2 \cos 30^{\circ}} = \frac{1.6}{2 \cdot 0.866} = 0.924 ulv 。

图F：问1中所描述的屋顶的示意图。

乍看之下，这道问题开头的严苛措辞似乎并不合理——但要记住，西伯利亚的冬季漫长而严酷，在某些地区，气温会下降到 $- 50^{\circ}$ 或 $- 60^{\circ} C$ （ $- 58^{\circ}$ 或 $- 76^{\circ} F$ ）之低的程度。积雪过多可能导致屋顶坍塌，带来致命的后果，因此，将屋顶的精确角度和坡度视为生死攸关的问题是完全合理的。

问题3：蒙福的太阳在夏季时的太阳角度抵达最低——与水平线成 $50^{\circ}$ 。一座Voen-gai神庙屋顶被设计有悬挑，使得其下方窗户的底边距离屋顶悬挑有 $0.2 ulv$ 长。若要使这座月之神庙全年都完全处于阴影之下，那么悬挑至少应当有多长？
答案：为了在一年中的任何时候都能够遮住太阳，从窗户底边指向太阳的箭头的角度必须为 $50^{\circ}$ 或更小。这让我们可以设立方程

r ∠ 50^{\circ} = x + i y = L + 0.2 i 。

这意味着

\tan 50^{\circ} = \frac{y}{x} = \frac{0.2}{L} ；

使用附录中的正切值表可得，悬挑的最小长度为

L = \frac{0.2}{\tan 50^{\circ}} = \frac{0.2}{1.19} = 0.17 ulv 。

图G：问题3中所描述的屋顶悬挑的示意图。注意到角度下方和右侧的红色和蓝色辅助线与上方和左侧的辅助线的长度相同。

问题4：为了估算敌方哨岗的高度，一名隐形侦察兵站在与哨岗有着一段距离的地面上。从该位置，她发现从地面到塔顶的仰角为 $30^{\circ}$ 。随后，她向塔移近 $2 ulv$ ，并发现现在的仰角为 $60^{\circ}$ 。这座塔有多高？
答案：设未知距离为 $d_{1} 、 d_{2}$ ，第一次测量是从侦察兵指向塔顶的箭头 $d_{1} ∠ 30^{\circ}$ ，第二次则是水平偏移了 $3.5$ 个单位的更斜的箭头 $d_{2} ∠ 60^{\circ}$ 。由此

d_{1} ∠ 30^{\circ} = 3.5 + d_{2} ∠ 60^{\circ} 。

随后，我们可以直截了当的通过解出实数/虚数的方程组来求出其中一个距离，再乘以对应角度的正弦值，从而得到塔高：

d_{1} \cos 30^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = 3.5 + d_{2} \cos 60^{\circ} ， {[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"d\")")]}_{1} \sin 30^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = d_{2} \sin 60^{\circ}

然而，由于我们只希望求得竖直分量 $y$ ，而这两个距离的值对于最终答案来说无关紧要，所以，聪明的学生（以及聪明的侦察兵，在她回到营地之后）会直接写出正切关系

\tan 30^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{y}{x} ， [PARSE ERROR: NewLine] t a n 60^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{y}{x - 3.5} 。

通过代入以及繁琐的代数运算，可得出解

y [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{3.5 \tan 60^{\circ} \tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ} - \tan 30^{\circ}} & = \frac{3.5 (1.732) (0.577)}{1.732 - 0.577} & = 3.028 ulv 。

讨论：聪明的学生可以利用这一练习总结出从地面估算任意高度 $y$ 的一般公式为

y = \frac{d \tan θ_{2} \tan θ_{1}}{\tan θ_{2} - \tan θ_{1}} ，

其中 $d$ 为两次角度测量之间移动的距离。该公式可被用于各种各样的意图，例如估算一座山峰的高度或一处山谷的深度，所需工具只要一个水平垂直仪器。为了获得最佳结果，让学生利用这一公式测量附近的地理标志物（假设地面大致平坦），然后互相比较答案，看看谁能够得到最精确的结果。（聪明的学生会在两次测量之间走得比她人更远一些，从而提高精度。）

图H：问题4中塔与测量点的示意图。注意到等式（triangulation）在图中以一个边长为 $3.5 、 d_{1} 、 d_{2}$ 的三角形形式直观地表现了出来。

数学分析：就问题4而言，值得注意的是，所述的一般高度估算公式还可以简化为

y = \frac{d}{\cot θ_{1} - \cot θ_{2}}

然而，狄瓦人似乎并未发展出正割、余割和余切这些倒数函数（更不用说它们的数值表了），尽管它们在表述上更高效。无论如何，注意到竞争元素在这里再次出现——尤其是在这种将学习带到教室外的“去户外进行一次真正的测量”的亲身实践情境之中。对于那些希望亲身体验这种堪称典范的“在实践中学习”教学法的基金会人员，我们建议你们利用这种测量方法估算自己所在安保设施的高度（使用手机上的角度测量应用程序），然后将与同事们比较结果。

此后的数十道习题都遵循着类似的模式。出于我们的目的，我们将只关注最后一道题：一道将学生所学知识应用到进阶科目上的挑战题。

问题49：一处天然泉水距离Daevon之城的徒步路程有 $4900 ulv$ 远；其海拔比城市高出 $10 ulv$ .分别约为 $49$ 千米和 $100$ 米。。帝国命令建筑奴隶.参见下文的翻译讨论。修建一条引水渠，每天从泉水向城市里的每位市民输送 $7 sigai$ 的水以及 $10 logai$ 的生命能量，从而给帝国钟爱的市民们提供难以言喻的壮丽风光.这些量大约分别相当于 $10$ 加仑（ $37.85$ 升）的水和 $5$ 灵的形态辐射（参见下文）。注意到这两个单位都衍生自“gai”。。（自然的，城市还有另外九条与之相同的引水渠。）

一名狄瓦施展神圣魔法，将泉水的海拔抬高，使引水渠的倾角增加了 ${0.05}^{\circ}$ 。现在，该泉水每天能够给每人提供多少水和生命能量？使用比例

V \propto \sqrt{S} ，

其中， $V$ 代表接收到的水量／能量，而 $S$ 代表水流的斜率。
答案：若将Daevon之城设为原点，则泉水最初位于坐标

d ∠ θ = F = 4900 + 10 i

要旋转 ${0.05}^{\circ}$ ，我们首先使用（euler）以及我们的三角函数数值表来计算与之相关的单位相量：

∠ {0.05}^{\circ} = 1 + 0.000873 i 。

然后相乘得到

F \cdot ∠ {0.05}^{\circ} [PARSE ERROR: Ampersand] = (4900 + 10 i) (1 + 0.000873 i) & = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")] & = 4899.99 + 14.2777 i 。

斜率 $S$ 可被认为与倾斜比 $\tan θ$ 等同。这意味着，引水渠输运的水量与能量都将乘上

k [PARSE ERROR: Ampersand] = \sqrt{\frac{\tan θ^{'}}{\tan θ}} & = \sqrt{\frac{14.2777 / 4899.99}{10 / 4900}} & = \sqrt{1.42777} & = 1.195 。

因此，改造后的引水渠每天大约能为每人提供 $8.365 sigai$ 的水和 $11.95 logai$ 的生命能量。
讨论：尽管学生可以通过先使用正切表求出最初的倾角，再直接将其增加 ${0.05}^{\circ}$ 并在最后重新计算正切值的方法来求解，但需注意的是，该方法直接用于矩形坐标的计算会得到同样的结果：一旦旋转相量计算完成，后续便再也不会纳入角度了！此外，应指出如果该问题再次被提出，应用于另一条引水渠上，那么相量 $∠ {0.05}^{\circ}$ 可被重复利用，这比手工重新计算更加高效。

接着，应指出 ${0.05}^{\circ}$ 的微小角度的提升是怎么使引水渠的流量增加了近 $20 %$ 的。当然，有学生可能会争议说将一处泉水整体抬高 $4.2777 ulv$ 本身就绝非易事，因此带来的如此显著的收益并不令人惊讶。这正是角度的力量：在足够长的距离上，即便是微小的角度变化，也会转化为任一坐标上的巨大偏移。

图I：问题49中引水渠的几何示意图。当然，该示意图并非按比例绘制——在现实中，引水渠的斜率极其平缓，因此当旋转 ${0.05}^{\circ}$ 时，泉水的水平位移几乎可以完全忽略不计。

历史学分析：除了作为我们迄今所见的教学法的一次精彩总结之外，这道习题还表明，引水渠被狄瓦帝国用于向城市人口中心地区输送水源，以一种与罗马帝国不可谓不相似的方法——尽管其中也在输送生命力能量（EVE）这一点显然构成了一个重大的偏差。在某种意义上，这些引水渠可以被描述为一种输送EVE，供狄瓦上层阶级乃至普通公民使用以施展某种形式的奇术技艺的人工地脉。那么，也许EVE（以及承载它的水流）相当于一种粗浅的电力使用，例如用于夜间人工照明，或驱动伐木工坊。

当然，进一步的推测已经超出了本文的范围——而在能证明这些引水渠存在的考古学证据被发现之前，它都将停留在推测阶段。现在，思考一下这种具备双重用途的引水渠是如何极大强化了狄瓦人关于生命能量自水之“源泉”中涌现而出的隐喻的：水是一种极佳的EVE载体，而EVE本身很可能还被用来防止水在最严酷的西伯利亚寒冬中被冻住。由此看来，这类基础公用设施的运作原理的介绍被编入一本供十二岁狄瓦学生阅读的核心数学教科书一事，清楚地表明狄瓦一直在积极培养一支强大的工程师队伍，以强化和加固帝国的国内事务（或许也同样包括帝国的各条军事前线）。

正如Bakkal更透彻的讨论[5]那样，狄瓦奴隶制度被划分为两种由国家强制实施的类别，两者合计约占帝国人口的30%至40%。正如题目所示的，第一种被称为“建筑奴隶制”，奴隶被用于人口中心，负责采集石料、矿砂等原料并加工成精炼制品，建造和维护桥梁、住宅、纪念碑（以及此处指出的引水渠）等建筑；并支持其他基础设施工程。另一种被恰当地称为“毁灭奴隶制”，据信其与罗马人、奥斯曼人以及美利坚邦联人的军事奴隶制类似，其中奴隶被用作军团的次要劳动力以及/或在必要时直接投入前线作战。耐人寻味的是，Bakkal等人收集的证据表明，奴隶被明确禁止参与狄瓦人的农业生产以及任何与食物有关的事务，取而代之的是异常方式的劳动使用（正如下文农业学部分所示的那样）。

数学分析：题目的讨论部分进一步阐明前文讨论的教师与学生之间的互动。积极的辩论是允许且主动鼓励的，而教师扮演的是一位给予帮助的导师，而非严厉的上级。或许狄瓦人的数学课堂更近乎于古希腊的苏格拉底式研讨——不过有鉴于前述的对于学生间相互破坏行为的授权，这种课堂环境可能更近似于一间聚集着彼此争强好胜且个个都心怀鬼胎的统帅与政治家的作战室。

三角形面积

先前的数学学习（但愿）已经向学生们揭示一个宽度为 $b$ 且高度为 $h$ 的矩形的面积等于 $b h$ 。如果将这个矩形的角倾斜成一个平行四边形，它的总面积将保持不变，因此同样适用于这一公式。接着，如果我们沿着平行四边形的一条对角线将其切开，所得的三角形面积便为原来的一半，即

A = \frac{1}{2} b h 。

我们还可以做得更好。若设左下角为原点，三角形可由从该角延伸出的两个复数 $z$ 和 $w$ 定义，如下图所示。

图J：三角形（红色）可由原点 $0$ 以及构成另外两个顶点的复数 $z$ 、 $w$ 独一无二地定义。如果将三角形旋转（蓝色）使 $z$ 落在正实轴上，那么两个三角形的高度（紫色虚线）都可以被识别为 $w$ 旋转后版本的虚数部分。

底边就是 $z$ 的长度，因此我们可以直接写出

b = | z | ⟹ z = b ∠ θ 。

若将三角形旋转角度 $- θ$ ，使得 $z$ 变为纯水平方向，那么高 $h$ 就只不过是 $w$ 的虚数/竖直分量。因此，一般情况下，

h = | \begin{matrix} ℑ {w \cdot ∠ (- θ)} \end{matrix} | ，

其中 $ℑ$ 表示“取虚数部分”.直译为“取升格部分”。注意到原文中使用的是狄瓦语言中相当于大写的C的字符（涉及泪泣绯红者）而非J。。注意这里有取绝对值以确保高度始终为正。

综上所述，我们得到

A [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{1}{2} b h & = \frac{1}{2} | z | \cdot | \begin{matrix} ℑ {w \cdot ∠ (- θ)} \end{matrix} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} ℑ {| z | ∠ (- θ) \cdot w} \end{matrix} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} ℑ {z^{*} w} \end{matrix} | 。

第三步使用了缩放的基本性质，将 $| z |$ 移入虚数部分的内部，而第四步则使用了共轭／竖直反射的定义（conjugate）。

至关重要的是，该公式既可以用于直角坐标也可以用于极坐标。在前一种情况下，只需将第二个顶点的位置与第一个顶点的共轭相乘，然后分离其虚部即可；在后一种情况下，则需要使用正弦函数。此外，只有 $w$ 中垂直于 $z$ 的部分才会对面积产生贡献，因为平行部分在乘以 $z^{*}$ 后总会得出一个实数，而实数会在最后被舍弃。这也意味着 $w$ 不必一定是第二个顶点原来的位置向量——它也可以只是从 $z$ 指向该顶点的箭头。

由于所有多边形都可以分割为若干个三角形，我们由此便得到了一种用以计算任意此类图形面积的方法，例如测量一块耕地的面积或计算粉刷一座神庙侧墙所需的涂料用量。

数学分析：在上述文本中，坐标系的原点和三角形的朝向被视为可变更的，这极大地简化了面积公式的推导过程——这种以运算为中心的数学主旨，我们在迄今为止所展示的代表性摘录中已多次见到。

还值得注意的是，上文给出的三角形面积公式与欧几里得空间中的叉积／外积公式

(52)A = \frac{1}{2} \begin{Vmatrix} \vec{z} \wedge \vec{w} \end{Vmatrix} \to \frac{1}{2} \begin{Vmatrix} \vec{z} \times \vec{w} \end{Vmatrix}An unknown environment "Vmatrix" is found

实际上是等价的（叉积公式仅适用于三维空间）。迄今为止，尚未回收到任何保存下来的关于狄瓦人对高维对象的处理方式的资料，不过，我们怀疑，她们这种思路很可能会延申出一种与四元数类似的理论。

对于学生而言，这里采用的放弃特定表示的方法（即不特别转换为直角坐标形式或极坐标形式）消除了因实施时的技术问题而产生概念混淆的可能性——她们可以自由地将给定问题转换为自己觉得最自然的形式，同时即便其中的某个特定的表达式让她们感到困惑，她们也能够领会其底层概念和方程。如果你对这种放弃坐标的方法的好处有任何疑虑，不妨向一位数学家和一位物理学家请教“什么是张量”，然后亲自见证两者在更高层次的领悟上的鲜明对比。

农业学

让学生们完成以下习题。

问题1：一座圣殿维护着一座专属于七位养育者Seven Nurturers的花园，其形状呈正七边形，每条边长为 $15 ulv$ .“正七边形”可直译为“深红字符”；参见下文进一步的讨论。。其面积为多少？

答案：该正七边形可被分割为七个全等的顶角为 $360^{\circ} / 7 = {51.429}^{\circ}$ 的等腰三角形。如果我们将三角形旋转，使边长为 $15$ 的那一边处于水平方向，那么该三角形满足

r ∠ θ + r ∠ (- θ) = 15

其中

{51.429}^{\circ} + 2 θ = 180^{\circ} ⟹ 2 θ = {128.571}^{\circ} 。

使用（trianglearea），整个图形的面积为

A [PARSE ERROR: Ampersand] = 7 | \begin{matrix} \frac{1}{2} ℑ {[r ∠ θ]^{*} [r ∠ (- θ)]} \end{matrix} | & = \frac{7}{2} | \begin{matrix} ℑ {r^{2} ∠ (- 2 θ)} \end{matrix} | & = \frac{7}{2} r^{2} \sin {128.571}^{\circ} 。

接下来的任务就是根据给出的边长15计算出 $r$ 。使用日照路径定律（lawofcosines），我们得到

15^{2} [PARSE ERROR: Ampersand] = r^{2} + r^{2} + 2 r^{2} \cos (θ + θ) & = 2 r^{2} (1 + \cos {128.571}^{\circ}) ，

可解得

r^{2} = \frac{15^{2}}{2 (1 + \cos {128.571}^{\circ})} 。

由此

A [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{7}{4} (15^{2}) \frac{\sin {51.429}^{\circ}}{1 + \cos {128.571}^{\circ}} & = 15^{2} \frac{7}{4} \frac{0.782}{1 - 0.623} = 509.789 ，

得出略少于 $816.744$ 平方ulv.略多于 $20$ 英亩（ $80937$ 平方米）。的值。
讨论：聪明的学生可以从这一练习总结出边长为 $s$ 的正 $n$ 边形的面积为

A_{n} [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{n s^{2}}{4} \frac{\sin (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"2\")")] θ [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{n - 2}{n} 180^{\circ} ，

而更聪明的学生则可以利用三角恒等式（参见第七章）进一步将其简化为

A_{n} = \frac{n s^{2}}{4 \tan (180^{\circ} / n)}

当然，一座拥有 $n = 7$ 以外的任何边数的神圣花园都将是彻头彻尾的亵渎之举，并会被当场烧成灰烬。

图K：问题1中的花园的示意图。务必确保学生们把自己的花园画得整齐又精确——如果绘制出来的字符的角度光是用肉眼看都是不均匀，那么这个符号便是亵渎的，必须从头再来。

历史学分析：七边形花园所采用的颜色是根据对保存下来的教科书进行化学分析后，从中复原出的与颜料痕迹近似的颜色[1]。除了基于七位源泉领受者的丰富多彩的配色方案之外，狄瓦人还展现出一种古老的数字命理学形式，而这种形式在涉及数字七的情形中表现得尤为明显。赋予数字神圣或神秘力量一事并不罕见，但狄瓦帝国对此贯彻得尤为彻底——数字以七进制计数，七边形被视作信仰的表达，狄瓦的帝国权力被划分为七个政府分支[5]，诸如此类，不胜枚举。当然，狄瓦帝国并不是第一个将数字赋予神秘意义的行使异常的古代文明，甚至也不是第一个赋予数字七神秘意义的文明——奥托世王国（约公元前11000年）便崇拜七位“柯如-图萨”（作为宇宙的守护者，抵御着来自现实之外的威胁的神祇），而数字七有关的主旨以一种与狄瓦人不可谓不相似的方式，充斥在奥托世人的信仰之中。至于这两套信仰体系及其各自的数字命理学之间是否存在更深层次的联系，仍待进一步研究加以证实。

另一个值得注意的是，这幅图将源泉领受者分别与七边形中七个面积完全相等的区域一一对应。暗示着这些神祇及其各自所体现的哲理在某种程度上是平等的——然而，其他文献又将泪泣绯红者描述为她的同僚女神们的领导者以及可能的操纵者或控制者[3]，表明或许这种所谓的平等仅停留在表层上，又或是其真实情况远比一本儿童教材中的简单多边形所能表达的要复杂得多。至于这种等级制度（或者说不含等级的制度）是否同样延伸到狄瓦上层阶级的政治之中，目前尚不得知[5]。

问题13：据传，当泪泣绯红者从栖于深渊者Dweller of Depths那里习得了水之秘法时，她选择将这一知识传授给Daevon的人民，使她的子民的干渴被永久解决。其中一种秘法，便是遍及狄瓦耕地中的植树法：树木除了能够为庄稼和牲畜同时提供阴凉与抵御恶劣的气候之外，还可以通过简单的咒语改造树枝，使她.由于树木和植物是有生命的/动物，因此古狄瓦文字赋予了她们女性的性别。担任灌溉用的洒水器（前提是必须能够通过标准运河系统给树根提供水源）。

一棵这样的松树——其尺寸通过简单的咒语得到强化——的树枝每天能够以均匀的速度向处于她下方的麦田喷洒 $105 sigai$ 的水。每条树枝的竖直伸展约为 $2.5 ulv$ ，并与树干/竖直方向成 $20^{\circ}$ 的夹角。求麦田的降水率为多少 $ulv$ 每天？

答案：由于给出的耗水量以每天的体积变化率为单位，因此我们只需简单的将它除以其所覆盖的水平面积即可。在给定的树木水平截面中，树枝的末端位于

L ∠ 70^{\circ} = w + 2.5 i ，

那么使用正切函数，延伸出的树枝所覆盖的麦田长度 $w$ 满足

\tan 70^{\circ} = \frac{2.5}{w}

相当于

w = \frac{2.5}{\tan 70^{\circ}} = 0.910 。

使用我们在第2章节中的练习，树木所覆盖的圆形麦田面积为

A = π w^{2} = 3.125 (0.910)^{2} = 2.588 {ulv}^{2} 。

随后，我们可以耗水速率换算为.狄瓦人使用的是以 $7$ 为基数的数学，由此她们版本的科学计数法也沿用了这一基数.

R = \frac{105 sigai}{1 day} \cdot \frac{1 {ulv}^{3}}{77 \cdot 7^{4} sigai} = 1.364 \cdot 7^{- 4} {ulv}^{3} / day ，

由此得出答案

d = \frac{R}{A} = 0.527 \cdot 7^{- 4} ulv / day 。

讨论：在寒冷的天气中，小麦大约每天需要消耗 $0.5 \cdot 7^{- 4} ulv$ .大约每天 $0.08$ 英寸。的水，所以这棵树完全能够满足麦田的灌溉需求。树根会吸收任何多余的地表水分（例如融化自积雪的水），并将其储存在她体内，与那些低等文明所采用的诸如漫灌的方法相比，这种方法能够最大程度的减少水资源浪费。

问题14：问题13中所描述的松树，以中心间距为 $2 ulv$ 的三角形的形状排列，种植在一块边长为 $60 ulv$ .面积约为 $89$ 英亩（ $0.36$ 平方千米）。的正方形耕地之中。这块土地最多能够种多少棵树？

答案：既然每棵树之间的间距为 $2 ulv$ ，那么三棵相邻的树会构成一个底边长为 $2$ ，侧边长为 $2 ∠ (\pm 60^{\circ})$ 的等边三角形。这意味着给定小径的宽度为

ℑ {2 ∠ 60^{\circ}} = 2 \sin 60^{\circ} = 2 (0.866) = 1.732 ，

因此，这片耕地能容纳

\frac{60}{1.732} = 34.642 \to 34

条林木小径。由于 $60 / 3 = 20$ ，那么每条小径中的树木将介于每排 $20$ 棵和 $19$ 棵之间。因此，我们取其平均值，再相乘：

19.5 \cdot 34 = 663 trees 。

图L：分别对应问题13与问题14中的单棵树木及耕地中的树木的示意图。当然，这两幅图并未按同比例绘制。

历史学分析：问题13和14详述了一种极具革命性的农业工具：一种将混农林业与中心枢轴灌溉系统的奇术化结合工具。前者将树木与作物和牲畜整合在同一片土地上，其带来的益处包括：

支持当地更高程度的生态多样性（例如鸟类生态）
增强与恢复土壤肥力、水资源可用性以及抗侵蚀能力
保护作物和牲畜免受恶劣气候（例如积雪或干旱）的影响
为乡下社区提供食物（例如富含维生素的坚果）、饲料、木材以及药材

与此同时，中心枢轴灌溉系统是一种现代灌溉系统，其中，一条长管道绕着一个中心枢轴旋转，并通过机械化洒水系统供水。中心枢轴能够在大范围内均匀供水，显著提高水资源利用效率，最大程度的降低土壤侵蚀与板结，并使农作物产量最佳化。

这两种技术都属于非异常技术，因此在帷幕内社会中十分普遍——前者已经存在了数千年，并应用于全球近一半的农场，而后者截至2022年已用于灌溉全美约76%的耕地。然而，在此处，这两种技术却通过异常手段结合在了一起：树木被规律地种植于狄瓦人各处的耕地之中，再通过奇术将它们转化为利用外部供水为作物进行灌溉的洒水系统（树木本身无需像中心枢轴那样旋转，因为这里假定其枝条能够均匀覆盖整片区域）。题目中提到的诸如吸收多余水分等的其他益处，也都能够由此轻松推导出来。

图2：混农林业经常被用于改善非异常农业生产，例如山核桃树与棉花的行径间种植。

这一技术具有坚实的科学基础：树木本身就已在水循环中发挥着重要的、非异常的作用，树叶上被称为气孔的微小细孔能够促进水蒸气散去大气中的蒸腾作用。结合题目中的文本以及狄瓦人高度发达的树艺学与奇术，我们推测，这项技术在整个帝国各处都普遍存在，为其提供了高度多样化且高产的食物供应，从而得以支撑其庞大的国内人口数量、军队数量以及奴隶数量。基于我们自身在奇术工程方面取得的进展，我们真诚希望基金会能在未来几年里出于自身的利益而复现这项技术。

另一方面，围绕这项技术起源的狄瓦宗教传说的事实依据顶多也只能称作空中楼阁。“栖于深渊者”在此前的文献资料[3]中并没有给出任何详述，而泪泣绯红者是否作为一个多功能实体实际存在（更不用说她是否能够直接与自己的信徒进行交流）目前尚未得到战术神学部的证实或证伪。然而，在前述的题目原文中，花园的第五个部分被赋予了一种蓝色、近似于水的颜色，这或许意味着，栖于深渊者实际上正是缺失的第五位源泉领受者——也就是前文提及的认为与那所“第五学院”密切相关的神祇，而该学院很可能就是这项技术诞生的地点。撇开推测不谈，这项灌溉技术很可能是通过狄瓦的科学研究、门外汉的实验或其他世俗探索而发现的，事后才被归功于源泉领受者们。

无论如何，这项超树艺灌溉技术脱离支撑它的数学体系就不可能存在。树木的灌水率与吸水率都必须经过精确的校正，以防灌溉过量或不足，而这反过来又要求能够计算出必要的被树枝所覆盖的面积（正如本题所示的那样），并根据周围环境中的水资源供给情况进行相应调整。如果缺乏完善的数学理论（以及广泛到足以普及、能够将这些理论传播至乡下地区的数学教育），那么这项超树艺灌溉技术根本无法维持下去。

问题49：当天空仍在流血时.狄瓦民间故事中的短语，用于传说和其她故事的开头；相当于现代故事中的“很久很久以前”。，昔日的第四军团——她们以战争主母之名开辟的道路蒙受了Daevon之盛怒的亲自祝福，从此永不畏惧、永不屈服——征服了无数块用于种植小米的耕地。为了测量其中一块战利品，备受尊敬的最佳统帅Rakshal从路边的一块基石开始；然后沿着道路向北偏东 $10^{\circ}$ 的方向行进 $32 ulv$ 至一块石头；再向东偏北 $15^{\circ}$ 的方向行进 $24 ulv$ 至另一条道路边的基石处；再沿第二条路向南偏东 $10^{\circ}$ 的方向行进至一个小山；再向西偏南 $30^{\circ}$ 的方向返回起点。

随后，统帅命令她的一头木制巨兽用其被活化的根系翻耕这块土地；巨兽每工作一个16小时日，就能搞定大约 $40 {ulv}^{2}$ 的耕地.约等于每天工作16小时搞定一英亩（ $4047$ 平方米）；参见下文定量讨论。。它需要多少天才能耕完整块田地？

答案：因为北/南方向分别对应 $\pm i = ∠ (\pm 90^{\circ})$ ，所以代表统帅路径的四个有向量为

d_{1} [PARSE ERROR: Ampersand] = 32 i ∠ (- 10^{\circ}) = 32 ∠ 80^{\circ} ， {[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"d\")")]}_{2} [PARSE ERROR: Ampersand] = 24 ∠ 15^{\circ} ， {[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"d\")")]}_{3} [PARSE ERROR: Ampersand] = - i a ∠ 10^{\circ} = a ∠ (- 80^{\circ}) ， {[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"d\")")]}_{4} [PARSE ERROR: Ampersand] = - b ∠ 30^{\circ} ，

其中未知数 $a, b$ 必须在求面积之前计算出来。由于这条路径形成一个环形，那么它必须满足方程

0 [PARSE ERROR: Ampersand] = d_{1} + d_{2} + d_{3} + d_{4} & = 32 ∠ 80^{\circ} + 24 ∠ 15^{\circ} - i a ∠ 10^{\circ} - b ∠ 30^{\circ} 。

图M：四次移动/箭头 $d_{1} 、 d_{2} 、 d_{3} 、 d_{4}$ 依次将统帅带到位置 $p_{1} 、 p_{2} 、 p_{3} 、 0$ 。这些位置所围成的农田可以沿原点和 $p_{2}$ 之间的虚线分割成两个三角形。

为了简化，我们将方程两边同时乘以 $∠ (- 10^{\circ})$ ，相当于将整个四边形顺时针旋转 $10^{\circ}$ ，使其左侧与北方向轴平行。于是方程缩减为

0 = 32 ∠ 70^{\circ} + 24 ∠ 5^{\circ} - i a - b ∠ 20^{\circ} ，

可以重新排列为

i a = 32 ∠ 70^{\circ} + 24 ∠ 5^{\circ} - b ∠ 20^{\circ} 。

分别取出实数和虚数部分，从而得出方程组

0 [PARSE ERROR: Ampersand] = 32 \cos 70^{\circ} + 24 \cos 5^{\circ} - b \cos 20^{\circ} ， å [PARSE ERROR: Ampersand] = 32 \sin 70^{\circ} + 24 \sin 5^{\circ} - b \sin 20^{\circ} 。

第一个方程立即揭露出了 $b$ 的数值：

b [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{32 \cos 70^{\circ} + 24 \cos 5^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} & = \frac{32 (0.342) + 24 (0.996)}{0.940} & = 37.072 。

我们可以接着使用第二个方程直接计算 $a$ ：

a [PARSE ERROR: Ampersand] = 32 \sin 70^{\circ} + 24 \sin 5^{\circ} - 37.072 \sin 20^{\circ} & = 32 (0.940) + 24 (0.087) - 37.072 (0.342) & = 19.489 。

至此，四边形被完全解出。为了求其面积，我们可以将其切割成由方向 $d_{1} 、 d_{2}$ 和 $d_{3} 、 d_{4}$ 定义的两个三角形。第一个三角形的面积为

A_{1} [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{1}{2} | \begin{matrix} ℑ {d_{1^{*}} d_{2}} \end{matrix} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} ℑ {32 ∠ (- 80^{\circ}) \cdot 24 ∠ 15^{\circ}} \end{matrix} | & = 384 | \begin{matrix} \sin (- 65^{\circ}) \end{matrix} | & = 384 | \begin{matrix} - 0.906 \end{matrix} | & = 347.904 ，

与此同时，第二个的面积为

A_{2} [PARSE ERROR: Ampersand] = \frac{1}{2} | \begin{matrix} ℑ {d_{3^{*}} d_{4}} \end{matrix} | & = \frac{1}{2} | \begin{matrix} ℑ {(19.489 ∠ 80^{\circ}) \cdot (- 37.072 ∠ 30^{\circ})} \end{matrix} | & = 361.248 | \begin{matrix} - \sin 110^{\circ} \end{matrix} | & = 361.248 | \begin{matrix} - 0.940 \end{matrix} | & = 339.573 。

由此，这块农田的总面积为 $A_{1} + A_{2} = 687.477 {ulv}^{2}$ 。除以 $40$ 就得到了总翻耕时间为 $17.187$ 天。
讨论：如果有学生没有将环路方程两边同时乘以 $∠ (- 10^{\circ})$ ，那么由于 $a$ 会同时出现在两边，计算 $a 、 b$ 将变得更加困难——她们必须先用一个方程除以另一个来消去 $a$ ，这又把求解 $b$ 的过程弄得过于复杂。大多数学生在通过本章习题集中的大量基于简化的旋转练习后应该足以获得使她们立即辨识出这种方法的经验——那些做不到的学生应当加倍努力学习和祈祷，直到她们的表现达到可接受为止。

数学分析：为了让学生保持投入感、获得激励（以及接受宣传），一位传奇战争英雄（参见下文）被写进一道供狄瓦学生练习的原本毫不相关的数学题中；打个比方，这就好比一本美国数学教材收入了一道涵盖乔治·华盛顿横渡特拉华河的题目，以维持学生的兴趣并激发民族主义情绪。当然，就我们所知，统帅Rakshal确实在她的征服中亲自测绘了被占领的农田并进行了三角学计算，而这又会引出另一套有趣的干系；结合前文建筑学部分的问题4（估算敌方哨岗的高度）来看，这种可能性出人意料地合理。

历史学分析：由于恶劣气候带来的困难，西伯利亚土著直到公元前第三千纪的下半叶才有新石器革命，并且直到青铜时代才在农业产出方面追赶上世界其他地区。举个例子，古代的西伯利亚土著在播种前的松土/翻土环节使用的是鹤嘴锄（掘土棒），而犁的使用是直到公元8世纪才开始的。

作为犁的替代，狄瓦人似乎是使用SCP-3140实例（活化的树木实体）的根系来轻轻地翻耕土地（无论是通过机械性的扰动还是借助根部的养分吸收机制将养分带至地表）。按照给出的数据，一个SCP-3140实例翻耕土地的速度约为一轭（一对）耕牛的一半。然而，与耕牛不同的是，SCP-3140实例完全自主，并且能够通过口头指令进行控制，使得人力可以集中到其他领域——农场主能够将精力投入到其他农务、学术研究，甚至单纯的休闲上，而奴隶人口则可以像前文所述的那样，被全部调配至建筑项目和军事项目中。此外，由于SCP-3140同时被用于农业工具和战争兵器，狄瓦军队针对敌方农业社区发动打击这一战术也由此被赋予了新的意义——她们不仅能够让敌人陷入饥荒，还能将这些农场据为己有，并使用SCP-3140这样的奇术工具进行管理，收割其战利品。

当然，国内事务和军事性质（并不是说狄瓦人必然会区分这两者）的农业后勤都离不开强大的数学基础。SCP-3140实例可达到的耕作土地的速度、一块耕地的尺寸及其产出、维持平民人口和士兵补给线所需的食物数量（以及为使敌方补给线崩溃而必须掠夺的数量）——狄瓦人在所有这些后勤细节上都运用着数学优势，并高效地将其运用于对领土扩张和征服的追求中。

此外，此处涉及的战争主母亦被称作“Moukar-gai”.直译为“战争源泉”。：狄瓦神系中的第四位源泉领受者，执掌有战争与纠纷、技艺与智慧，以及征服与残暴的权柄[3]。与Daevon之明光之于Noru-gai的关系和Daevon之静默之于Voen-gai的关系类似，“Daevon之盛怒”便是主母最杰出的女祭司，也是在领导狄瓦帝国的慈母统治议会中担任主母“代表”的人物。然而，对我们来说更重要的是关于她如何与统帅Rakshal保持着一段恋情的——这段恋情在狄瓦历史上如此重要，以至于此事在SCP-140的第79章节中都有所记载：

狄瓦女性之间的恋情通常被认为比其他性别之间的关系更为深厚和充实，两位或多位女性之间最牢固的奉献与血脉纽带将由鲜红女神亲手编织。即便如此，这些纽带也可能化作一把双刃剑——必须格外小心，防止它们成为敌人可以利用的弱点。

最著名的狄瓦爱情故事莫过于统帅Durvta Rakshal的悲剧，她主导了对巴特鲁维亚人.一个古代的异常文明，位于如今俄罗斯的[[a class="external" target="_blank" href=""https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BF%84%E7%BD%97%E6%96%AF%E6%9E%81%E5%8C%97%E5%9C%B0%E5%8C%BA"]]极北地区[[/a]]。除了知晓他们在公元前5000年左右灭亡于狄瓦人之手外，几乎没有其他任何关于他们的信息。漫长的灭族战争。她对Daevon之盛怒的爱没有界限，而这常被认为是第四军团在那个千禧年中屡战屡胜的决定性因素。然而，下面这封写给温柔的Daevon之盛怒的信——最后一道有记录的来自统帅Rakshal的讯息——暗示了她的祸根的本质：

我的挚爱，

当你收到这封书信时，我将已经以我们伟大帝国的名义砍杀了成千上万的巴特鲁维亚人。然而，即使当败者那甜腻的血液渗入我的肌肤、钻入我的骨骼，即使当我投入主母因惊叹于我的杰作而按在我肩头的引导着我的冰冷手掌，你那令我难以接受的缺席仍使我变得空洞不堪。

在遇见你之前，我布满老茧的双手从未懂得何为温柔。哪怕我的血液在一场又一场的战斗中沸腾不止，我所想的却都是用我那握剑的手去轻轻描摹你臀部那浅浅的凹陷，用我那布满伤痕的掌心托住你金色的脸颊，感受着你依偎在我舒适的怀中沉沉睡去时胸膛的起伏。一滩滩流淌的鲜血扭曲成了你完美的五官。倒下者的惨叫模糊成你那轻柔活泼的笑声。冰冷腐朽的气息不知不觉地陷入对你那迷人的、浸透着绯红的气息的拙劣模仿。我无处可逃——无论我与你相隔多远，你将永远是我在这冰冷荒原永无止境的屠戮之中的宁静。

有时，你那诱人的呼唤，会勾引我去幻想一种放弃以你之名发动战争的平静生活——但我的心神在被迷雾遮蔽的顷刻间也会瞬间恢复清明。真相很简单：若不能带着胜利的战利品回到你的身边，就等于承认我是那个我始终自知的可怜虫。不，我绝不能在此刻动摇——伟大织者已向我揭示了我心中唯一正确的前进道路。从写下这封信算起的三日后，对巴特鲁维亚人堡垒发起的最后总攻便将开始……而在那的三周之后，我会带着那些错估我们的人的头颅回到你的宫殿。

如果我未能活着走下战场，不要为了纪念我而玷污历史的篇章。

永远属于你的，
Durvta

幸存者报告称，巴特鲁维亚人在战斗的关键时刻诱骗统帅Rakshal强攻他们堡垒的正门；由于对Daevon之盛怒的炽烈爱意蒙蔽了她的双眼，她并没有识破那是敌人为她布下的显而易见的陷阱。流失的逻辑和理性被激情和盲目的奉献所取代；当意识到这一点时，统帅已经丢掉了生命。在获知这一噩耗后，悲痛欲绝的Daevon之盛怒违背了Rakshal那自厌的愿望，颁布了必须要让她的记忆在狄瓦的历史、宗教与艺术中永垂不朽的法令——这一法令在帝国的永恒统治期间被成功延续。

那么，也许《敬奉几何》里的这道纳入了统帅Rakshal的数学题正是一种对这条永垂不朽法令的执行。狄瓦数学与狄瓦文化和宗教密不可分：从各方面来看，两者完全就是一回事。

结论

《敬奉几何》是对一种崭新假说的优异展现：即数学研究与数学应用构成了狄瓦社会的支柱。数学既是建筑学、农业学以及其他国内事务的基础工具，也是宗教信仰/数字命理学的基本体现，而狄瓦帝国所取得的成功，其中相当重要的一部分原因都可以归功于对数学的运用。通过对这套数学及其公平且富有竞争性的教学方法的研究，我们辨识出了狄瓦文化规范、社会经济结构以及奇术实践中的诸多关键要素——基金会此前所知晓的只有其中的一部分。尽管狄瓦人的绝大多数进步（数学、技术或其他）似乎既未传播到其他文明，也未能存续至现代，但《敬奉几何》仍然为我们提供了一瞥古代学术如何构建的机会——并且在某些特定情况下，也展示了该结构的某些元素该如何融入基金会内和基金会外的现代教学法中。

我们承认，纯粹推测的预测能力有限，并真诚希望未来的研究能够对《敬奉几何》所呈现的可能性进行独立的佐证与验证。我们特别为未来的研究者提出以下三个问题：

还有哪些非异常的数学与科学成就促成了狄瓦在文明上的如此迅速的发展？
是否有其他诸如奥托世王国或欲肉族这样的异常文明也取得过类似的迅速的数学发展？
狄瓦人是否还掌握着异常数学的知识？如果有，这种超数学又是如何影响她们社会发展的？

在基金会文档和研究中，按以下方式引用本文：

P. Buyantu (Site-Σ), T. Zhang (Site-12). 2023: "Daevite Mathematics: Complex Numbers", Foundation Journal of Anthropological Research, vol. 298., pp. 24-68. Clearance G3-2/DOTT/HIST/MATH. doi:scp.hist/500219

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Bibliography

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2.T. Zhang (Site-12). et al. 2023: "Old Daevite Linguistics: Qualitative and Quantitative Insights", Foundation Journal of Anthropological Research, vol. 291, pp. 43-73. Clearance G3-2/HIST/LING. doi:scp.ling/387419

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5.H. Bakkal (Site-12). 2017: "The Seven Arms of Daeva Hegemony", Foundation Journal of Anthropological Research, vol. 225, pp. 93-121. Clearance G3-2/HIST. doi:scp.hist/118321

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解三角形

建筑学

三角形面积

农业学

结论